제목과 같이 제가 직접 고등학교 범위에서 로피탈의 정리와 log(-1)=0임을 증명해보았습니다. 아래에서 보여드리는 증명에 문제점이 어떤 것인지 알고 싶어 질문드려봅니다.
1. log(-1)=0 증명
밑이 a인 두 로그 log_a(M) , log_a(N)에 대해서 log_a(M)=m , log_a(N)=n 이라 하겠습니다. 이때 로그의 정의에 의하여 a^m=M , a^n=N 입니다. 그래서 a^m×a^n=MN 인데 지수법칙에 의하여 a^m×a^n=a^(m+n)=MN 이 됩니다. 그리고 양변에 밑이 a인 로그를 씌워주면 log_a(a^(m+n))=log_a(MN) 입니다. 그런데 log_a(a^(m+n))=m+n=log_a(M)+log_a(N) 입니다. 따라서 log_a(MN)=log_a(M)+log_a(N) 임을 알 수 있습니다.
위의 정리에 따라 밑이 a인 로그 log_a(2)를 가져오면 log_a(2)=log_a((-1)×(-1)×2)=log_a(-1)+log_a(-1)+log_a(2) 입니다. log_a(2)=2log_a(-1)+log_a(2) 에서 양변에 log_a(2)를 빼면 2log_a(-1)=0 이고 양변을 2로 나눠주면 결국 log_a(-1)=0 입니다.
2. 로피탈의 정리 증명 (0/0꼴에 대해)
x=a 에서 미분가능한 함수 f(x) 를 가져옵니다. 이때 lim_(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a) 라는 식에 x=a 를 대입하면 (f(a)-f(a))/(a-a)=0/0 꼴로 정의되지 않습니다. 하지만 처음 극한은 미분계수의 정의에 의하여 f'(a)가 됩니다. 그리고 처음 극한의 분모와 분자를 각각 x에 대해 미분하면 lim_(x→a) [d/dx (f(x)-f(a))]/[d/dx (x-a)]=lim_(x→a) f'(x)/1=f'(a) 입니다.
따라서 lim_(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)=lim_(x→a) [d/dx (f(x)-f(a))]/[d/dx (x-a)] 입니다.
같은 방법으로 x=a에서 미분가능한 함수 g(x)에 대해서도 lim_(x→a) (g(x)-g(a))/(x-a)=lim_(x→a) [d/dx (g(x)-g(a))]/[d/dx (x-a)] 입니다. 마지막으로 두 극한을 서로 나눠주면 lim_(x→a) (f(x)-f(a))/(g(x)-g(a))=lim_(x→a) [d/dx (f(x)-f(a))]/[d/dx (g(x)-g(a))] 로 0/0꼴에 대한 로피탈의 정리 증명이 끝이 납니다.
최텐도