수학 0

30. 양의 실수 t에 대하여 곡선 y= t^3ln(x−t) 가 곡선 y=2e^(x−a) 과 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수 a의 값을 f(t)라 하자. {f′(1/3)}^2의 값을 구하시오.[4점]

고등학교 수준의 풀이는 이해 했는데

아래 풀이에서 뭐가 잘못 됐는지 잘 모르겠네요 ㅠㅠ

한 점(x=x0)에서 만나는 것과 두 곡선의 접선의 기울기가 같다고 풀어내면 아래와 같은 두 식이 유도 됩니다.

t^3/(x0-t)=2e^(x0-f(t)) -----(1)

t^3*ln(x0−t)=2e^(x−a) -----(2)

두 식을 연립하여 정리하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

(x0-t)*ln(x0-t) = 1 -----(3)

또한 (1)번 식의 양변에 ln을 취하여 f(t)를 구하고 이를 미분하면,

f'(t) = -1/(x0-t) - 3/t  -----(4)

가 나오게 됩니다.

(3)식을 만족하는 (x0-t)를 구하면 e^W(1)이라는 값이 나오게 됩니다. W는 람베르트 함수로 특수 함수라고 합니다. 문제는 저 값이 e^W(1)=1.763222834.... 인데, 정답 해설 대로라면  -1/(x0-t) = 1 즉, (x0-t)= -1이 나와야 합니다.

비록 대학 수학 과정을 포함하는 풀이라고 하더라도 과정에 오류가 없으면 정답은 나와야 한다고 생각합니다. 하지만 제가 봤을 때 식(3)까지의 유도과정에도 오류가 없고, 식(3)에서 e^W(1)=1.763222834.... 이 값이 나오는 것도 오류가 없어 보입니다.

제가 어디에서 뭘 놓치고 있는걸까요? ㅠㅠ 도와주세요 ㅠㅠㅠ