유자차93 0

 각진동수 {\displaystyle \omega =2\pi \nu \;}와 파수 {\displaystyle k=2\pi /\lambda \;} 및 {\displaystyle \hbar =h/2\pi \;}를 이용해 표현하면,

{\displaystyle E=\hbar \omega } 및

p와 k를 벡터로 표현하면

{\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }

에르빈 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 1925년 발표하였다.[1] 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다.

{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}

그리고 그는

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-i\omega \psi }

이므로

{\displaystyle E\psi =\hbar \omega \psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }

이며, 마찬가지로

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =ik_{x}\psi }

이므로

{\displaystyle p_{x}\psi =\hbar k_{x}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi }

이고, 따라서

{\displaystyle p_{x}^{2}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi }

및 각 방향의 부분들을 더하면

{\displaystyle p^{2}\psi =(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})\psi =-\hbar ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\psi =-\hbar ^{2}\nabla ^{2}\psi }

이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식

{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}+V} (단순히 총 에너지를 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 나타낸 것)

에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다.

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi .}