김하늘피디 0

아까 피디님이 설명을 못하셔서 증명해드립니다.

질문하신분 도움이 되길 바랍니다.

우선 페아노 공리계를 설명하고 넘어가겠습니다.

페아노 공리계는 자연수를 정의하는 공리입니다.

공리란 너무 기본적이고 당연하기에 증명을 할 수 없는 정리입니다.

즉 다음 다섯 가지 사실은 증명 없이 받아들이기로 하며, 이 다섯 가지 공리를 만족하는 집합을 자연수로 정의합니다.

1) '1'은 자연수이다.

일단 "1은 무조건 자연수야!" 하고 시작하는 겁니다. 즉 1이 자연수의 스타트를 끊는 거죠.

여기서 중요한 점은, 숫자 '1'이 자연수라는 것은 증명없이 그냥 받아들이겠다 말입니다.

2) n이 자연수일 때, n의 계승자 n'도 자연수이다.

n=1로 두면 1' = n' 이고 이게 자연수라는 의미입니다.

3) n'=1 인 자연수 n은 없다.

자연수 집합은 1이 시작이니 계승자가 1일수는 없겠죠.

4) m'=n' 이면 m=n 이다.

이 공리의 대우는 m≠n 이면 m'≠n' 이다 입니다. 

이는 자연수 집합이 순환구조가 아님을 뜻합니다.

5) P(1)이 참이고 모든 자연수 k에 대해 P(k)가 참일 때 P(k')이 참이면 P는 모든 자연수에 대해 참이다.

5번 공리에서는 뭔지 모르겠지만 어떤 조건 P가 있다고 할 때 P가

i) P(1)이 참이다

ii) 임의의 자연수 k에 대해서 P(k)가 참이면 P(k')도 참이다

위 두 조건이 만족될 때 모든 자연수 n에 대해 P(n)이 참이라는 공리입니다.

이 페아노 공리계를 이용하여 1과 2를 페아노 공리계로 정의했습니다.

이제 +를 정의합시다. +는 다음 두가지 성질을 만족시키는 연산을 +로 정의합니다.

1) 모든 자연수 n에 대하여 n+1=n' 이다.

2) 모든 자연수 n, m에 대하여 n+m'=(n+m)' 이다.

1+1=2의 증명

덧셈의 정의에 의해 1+1 = 1'

페아노 공리계를 통해 1'=2

따라서 1+1=1'=2 이므로 1+1=2가 성립합니다.

질문하신분 도움이 되길 바라며 수학공부에 정진하시기 바랍니다.

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