수학 0

최근에 레이와 원년 교토대 특색문제가 올라왔더군요 다만 그것까지 풀어서 올릴 시간은 안 남아서...

이 해엔 수열을 좀 복잡하게 내놨습니다

수렴을 보이기 위해서 노가다가 좀 작살납니다

얘는 도형의 성질로 눈을 돌리면 빨리 해결

얘는 아이디어만 알면 순식간인데 아이디어가 엄청 안 떠올라서... 어렵다면 정말 어렵습니다. 거리가 원으로 표현될 수 있지만 기본적으로 직선 위라는 걸 생각해야 되는 문제.

이 문제가 진짜 아이디어 싸움...

수형도 떠올려야 1번 아이디어 얻기가 쉽고 이후엔 수열로 감아서 풀면 해결. 2번은 쉽습니다. 3번은 2번의 수열 r_n은 도움이 안 되어 보이는 점에 유의.

마지막까지 수열로 괴롭힙니다 얘는 특히 KMO에 나왔던 문제를 그대로 들고온 걸로 보이는데 몇 년도 KMO 2차인지는 모르겠네요

1번은 저렇게 케이스 분류하면 해결되고, 2번은 저 차를 또 수열로 만들어줘야 해서

성질 P(n,k)를 가지는 수열이 얼마나 많은가(아마도 유일하다로 생각 중)가 부속 문제가 되겠네요(*에서 풀이 보충설명 및 수정)

* (b_n=a_1-a_n인 그대로로 수정)b_(n-j)가 2^(n-1) 이상이라면 그 값은 b_1~b_(n-1) 중 유일하게 존재하고(이를 b_N이라 하자) -b_n은 최댓값이므로 2^(n-1) 이상이어야 한다. 즉 b_(n-1)은 2^(n-2) 이상이므로 (1-(1/2)^(n-N))*2^(n-1)+2^n*(1-(1/2)^(N-1))=2^n-2^(n-N+1)+2^(n-1)-2^(N-1)<=b_n. 이는 N=1일 때만 성립할 수 있는데 b_1*2^(n-2)<2^(n-1)이 법 2^n-1에 대해 성립해야 하고 b_2*2^i(0<=i<=n-2)이어야 하는데 이러한 b_1, b_2는 양립할 수 없다. 그러므로, b_N은 존재하지 않고, b_1=1일 수밖에 없다.

며칠 전에 커뮤니티 트게더는 한동안 안 하게 될 수 있다고 한 적이 있는데 유예 시간이 약간 생겨서 오늘 이 글이 마지막이 될 거 같네요 오늘내일 이후엔 정말 한동안 못 올 예정...

감사했습니다.