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자유 도쿄대학 2019학년도(헤이세이 31년) 문제 풀이

유리는매일내일
2019-10-20 22:05:59 192 4 0

(2019년 2월 25일 시행)

*이 풀이와 의견은 도쿄대로부터의 공식적인 내용이 아닙니다. 도쿄대는 관련 내용을 배포하지 않으므로 참조 부탁드립니다.

*この解説や意見は東京大学からの公式な内容ではありません。

(이상 도쿄대 측에서 규정한 도쿄대 문제 2차 이용을 하려면 필수적으로 써야 되는 내용입니다.)

도쿄대 2019학년도 문제 풀이입니다. 한국어 번역과 풀이가 있습니다.

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도쿄대에서 2019년에는 문제를 좀 계산 제대로 잡아먹게들 내놨어요 1번부터 이 모양이니까...

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두 가지 풀이가 있는데 둘 다 바로바로 풀고 넘어갈 수 있는 간단한 길이는 아닙니다.

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적절한 치환법을 찾아서 계산하는 걸 테스트했던 것 같은데 아무래도 난이도 예고편 같습니다.

2번은 한국에서 자주 볼 법한 유형

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t의 범위를 잘 굴려서 구하면 됩니다. 그 뒤는 쉬운데 이 범위 구하는 걸 빼먹었다간 최악의 사태가 일어나므로 유의해야 합니다.(t=0이라던지...)

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그리고 3번이 좀 문제인데 얘도 역시 계산이 좀 많습니다.

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그림

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1번 꼬리문제는 그냥 그림그리기라서 큰 문제는 없습니다.

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2번부터가 문제인데 우선 저 범위에서의 교점 개수를 구해 주고

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p의 범위에 따라 따져주면 되는데 거리로 구한 건 제가 생각을 좀 이상한 방향으로 해서... 교점 구하는 게 더 빠를 겁니다. 그래도 혹시나를 대비해서 이런 풀이도 알아두시길...

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(흰색으로 칠한 부분은 망쳐서 지운 부분)

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처음에 M 빼먹고 계산했다가 큰일날 뻔했습니다.

문제 조건을 정확히 읽으셔야 합니다...

약분 안 한 건 살짝 서비스(ㅋㅋ)

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4번은 숨고르기 문제입니다. 사실 4번이 1번으로 나오는 게 난이도 배치상 맞을텐데 어쩌다 이런 배치를 했는지 모르겠네요.

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이 문제 푸는 데에 필요한 유클리드 호제법(일본에선 정수가 따로 파트가 될 정도로 한국에 비해 비중이 많아서 유클리드 호제법 쓰는 문제가 유형이 됩니다. 한국에선 비중이 높지 않아서 케바케지만 알면 유용할지도...)

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기호 약속은 풀이 길이를 줄이는 데에 도움이 됩니다.

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2)에서 이용하는 성질은 꽤 유용한 건데 "두 수의 곱이 제곱수이고 두 수가 서로소라면 두 수는 각각 제곱수이다". 알아두시면 편합니다. 이차잉여(제곱수의 나머지)도 간단하게 봐두시고..

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문제가 5번에서 터집니다. 도쿄대 문제가 일본에서 어렵다고 이야기 나올 때 특히 5,6번 중 하나가 지뢰밭이라는 말 나오는데 이번에는 둘 다 지뢰밭이었습니다. 다만 5번은 꼬리문제가 하나 빼고는 쉽습니다. 그 하나가 문제지만...

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1,2번은 무난하게 하실 수 있을 거고 3번에서 유의하셔야 할 사항이, 수열은 연속적인 수들이 아니니까 함부로 연속함수 극한을 이용하면 망합니다. a와 b만 봐도...(연세대에서 2017학년도인가에 비슷한 유형 있던 걸로 기억합니다. 찾아보시길)

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이 c가 난이도의 주범입니다. 평균값 정리 형태라는 걸 캐치해서 만들어내야 하는데 그쪽으로 머리가 빠지긴 할 텐데 만든 이후 유도까지 하는 데에 미치기가 쉽지 않을 거에요. 위에서 말했듯 1,3번이 계산이 많아서 실제로는 시간도 많이 빼먹은 상황에서 이런 문제가 나오니까... 확인해보시기 바랍니다.

그리고 대망의 6번...인데

참고로 한국에선 사실상 교육과정 밖이니 넘어가실 분은 넘어가셔도 됩니다. 유형도 한국에선 거의 안 나올 내용이라서...

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복소수 문제입니다. 1번부터 막막하고 3번을 내달리고 싶은데 3번을 풀려면 1번을 풀어야 합니다. 2번도 1번 풀어야 되는지라 결국 1번, 3번은 적을 대로 적어서 부분점수 노리고 2번은 예측 적당히 해서 찍었을 것 같습니다.

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이차방정식 형태 두 개로 계수들이 서로 같다는 걸 이용해서 푸는데 특히 두 이차 방정식으로 일차방정식으로 끌어내는 게 포인트.(이차방정식으로 풀었다간 판별식의 양수 음수 여부가 헷갈려서 못 헤어나오는 불상사가...)

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2번을 다들 감으로 예상했을 거라는 게 이런 의미입니다. 형태가 좀 깔끔하게 나와서 아마 찍으라면 제곱수 아니면 배수(결과론적으로는 예측 실패로 운 없는 경우)이고 굳이 a가 음수가 붙을 필요가 없어 보이는데 붙었으니 제곱수에 마이너스 붙이는 걸 찍은 사람 있긴 할 겁니다.

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3번은 그려 보이는 건데 아마 서술해야 되는 게 있다면 저 곡선이 쌍곡선이라는 것까지 언급해야 되지 않았을까 싶습니다. 보다시피 저 포함되지 않는 점도 표현해야 하고...


도쿄대가 2017, 2018에는 쉽게 내서 2019에는 기합 좀 넣어서 낸 건 확실합니다. 노가다성 문제에 6번이 진짜 난관인지라...


풀이 관련해서 문의 받습니다.

여담

1.사진의 음영은 그냥 제가 이런 걸 처음 해봐서 사진을 못 찍어서 그렇습니다. 스캔을 못 하는지라...

2.가독성이 심하게 떨어지면 워드로 정리해서 다시 올리겠습니다.

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