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자유 통계학의 원리

smp2040
2019-08-08 19:55:13 401 5 4

보통의 경우에 통계학과가 없는 학교는 수학과 내에 통계학을 가르치는 교수님이 있는 경우가 많습니다.

어떻게 본다면, 숫자와 문자로 무언가를 계산한다는 측면에서는 비슷한 학문처럼 보이지만, 실질적으로

수학은 이른바 "연역적" 방법을 사용하여 논리를 전개하고, 통계학은 "귀납적" 논리를 사용한다는 점에서, 본질적으로

비슷하지만 서로 다른 학문이라 할 수 있겠습니다. 물론, 통계학 내에서, 특히 수리통계학에서는

 어떤 추정법이나 혹은 분포 이론을 다룰 때에는

수학과 비슷한 측면을 다룬다 볼 수 있겠지만, 통계학의 그 핵심을 생각해 볼 때에는 꽤 많이 다릅니다.


수학의 경우 어떤 기본적인 공리 (Completeness Axiom) 혹은 정의(Definition)과 같은 개념에서

Axiom and Definition → Theorem and Collorary 1 → Theorem and Collorary 2 → 

이런식으로 좁은 개념에서 넓은 개념으로 확장된다고 생각할 수 있고,


통계학의 경우에는 어떤 관측가능한, 혹은 추상적인 개념을 구체화 시켜서 만든 데이터를 토대로 이들의

규칙성 즉 분포, 더 나아가 이들의 규칙성을 대표할 만한 어떤 숫자(평균, 분산 etc)를 찾아내는 것이 핵심적인 목표입니다.

Data → Distribution → Parameter(모수, 평균, 표준편차와 같은 대푯값) 으로 점차 개념을 좁혀들어간다는 점이죠.


이런 점에 있어서 수학과 통계학은 사용하는 논리가 사뭇 다르다는 측면에서 앞서서 다르다고 이야기 한 것입니다.


그렇다면 통계학은 뭘 찾고 싶어서 만들어진 학문일까요? 지금까지 나타난 현상, 혹은 패턴을 숫자화 시키고,

그 숫자화 시킨 데이터를 토대로 "모수"를 "추정"하는 것이 통계학의 본질이라 생각합니다.

우리가 고등학교 수학에서 수열을 배웠듯이, 숫자 사이에 직관적인 규칙성보다 그러한 숫자들이 모였을 때, 과연

이들의 규칙성은 어떻게 되는지를 간단한 숫자를 통해 나타내고자 하는 것이 통계학의 근본적인 원리입니다.


그래서 통계학에서는 "추정"이라고 하는 개념을 대단히 중요하게 생각하고, 또 어떻게 추정을 해야 이들 데이터를 더 

완벽하게 설명해내는 "숫자"를 만들어낼까 하는 것이 중요한 명제입니다. 이러한 추정을 하는 과정에서 "확률" 이라고 하는

개념이 사용되는 것이고, 데이터를 대표할 만한 "숫자"가 몇 %의 확률로 a와 b 사이에 존재한다. 이런 식으로

수학에서 사용하는 논리보다는 완벽하지 않지만, 적어도 우리에게 보다 정밀한 정보를 제공하게 됩니다.

분포 역시 중학교 때 배우는 Histogram 에서 벗어나, 아래의 그림과 같이 어떤 그래프와 x축 사이 혹은 xy-평면 사이의 면적이

1이 되는 그런 분포를 배우게 되죠. 

e57a8fe2c2f0a1e87a3ad89e881b043c.png

(Figure : Normal Density, Source: Google)

따라서 그래프 밑에 있는 영역은 "확률"을 의미하게 됩니다. 물론 우리가 일상생활에서 벌어지는 경우의 수를 확률로

나타내는 문제도 꽤나 중요한 역할을 할 때가 많지만, 통계학에서 확률은 "추정"을 가능케 해주는 대단히 필수적인 도구입니다.


그렇다면 A라는 추정법을 통해서 구해진 a값은 정말 우리가 찾고자 하는 값이 맞을까? 라는 질문에 해답을 주기 위하여

추정값 a 를 평가하는 방법에 대해서도 등장하게 되고, 이른바 "불편성", "최소분산" 과 같은 개념들이 통계학에서

중요하게 다뤄집니다. 또 시간이 지나 B라는 추정법을 통해서 구해진 b라는 값은 a랑 비교했을 때 더 좋은가? 라는 질문에

해답을 제시해주기도 합니다.


3줄 정리하자면,

"통계학은 "추정" 어떻게 하면 잘할까를 다루는 학문"

"추정에 있어서 "확률"이라는 개념은 필수적"

"추정법에 따라 추정값이 달라질 수 있고, 어떤 추정값이 더 좋은 추정값인지를 평가하는 것도 중요한 학문"


끝으로 그냥 트수짓 하다가 트게더에 이런 게시판이 있길래 호기심에 들어와 봤는데, 제가 꽤 관심있어하는 학문인

통계학에 대해서 짧지만, 어떤 insight가 있길 바라면서 몇 글자 적어봤습니다. 문과생 여러분들도 조금이나마

이해를 돕기 위해서 줄글 위주로 적어서 빠진 부분이 있을 수 있고, 미진한 부분이 있을 순 있지만, 이과생 여러분들의

너른 마음과 이해를 부탁드립니다.


조금 이 글에 대한 신뢰성을 위해서, 저의 academical background를 조금 적어보자면, 저는 현재

수도권에 있는 지방 캠퍼스를 다니는 경제학, 수학 복수전공자입니다. 본래 문과 출신으로서 경제학이 제 1전공이지만,

경제학 유학을 위해 수학을 복수전공했습니다. 집안 사정이 여의치 않아 유학의 뜻은 조금 접은 상태입니다.

수학 전공과목을 듣다보니, 통계학 전공 교수님이 학부연구생을 제안해 주셔서 현재 막학기를 앞둔 학부연구생이기도 합니다.

수학과이다 보니 통계과목은 그렇게 많지는 않았지만, 적어도 통계학개론, 수리통계학, 확률이론, 베이지안 통계, 

sas 실습과 같은 과목들을 수강한 바 있습니다. 이 뿐 아니라 수학과 필수과목들, 미적, 선대, 상미방, 편미방, 고등미적, 

정수론, 해석학, 복소함수 등을 수강했습니다.

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