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자유 수학의 엄밀성과 정의에 대하여

mekty2012
2019-08-07 04:29:54 189 3 2

흔히 수학에서 가장 중요한 것은 정의라고 합니다. 실제로 하고자하는 목표인 정리, 그 중간 과정인 Lemma, 결론을 보여주는 Corollary[1] 등과 정의는 동등하게 적히는 경우가 많습니다. 그리고 실제로도 다양한 경우 정의를 하는 것이 중요한 경우가 많습니다. 몇몇 수학 분야는 하나의 정의로부터 탄생한 경우가 있기 때문입니다. 예를 들면 측도론과 적분론은 Leveseque Integral에서 큰 도움을 받았고, 계산 대수는 환 상에서 Groebner Basis의 큰 도움을 받습니다. 

그런데 초등학교, 중학교, 고등학교 수학에서 정의가 그렇게 중요하냐면 이건 조금 다른 말입니다. 예를 들어 미적분을 생각해보면 극한의 '엄밀한' 정의인 epsilon-delta 논법은 중학교 수준에서는 다루기 힘들기 때문에 그 부분을 빼고 간단한 정의를 사용하여, 미분의 정의를 제대로 알고 있어도 틀릴 수밖에 없습니다. 이 문제는 오히려 초등학교, 중학교 레벨로 내려갈수록 더 커집니다. 우리가 잘 아는 함수의 정의 조차 엄밀성을 추구한다면, 집합 A에서 집합 B로 가는 함수는  Left-Total하고 Right-Unique한 A× B(Cartesian Product라고 합니다.)의 부분집합(이를 관계, Relation이라고 합니다.)으로 정의합니다. 

이 부분이 바로 엄밀성의 문제입니다. 근대 수학까지의 수학은 엄밀함을 추구하는데서 발전하였습니다. epsilon delta 논법으로 시작하여 연속 함수, 미분과 적분의 정의로 진행하여 다양한 해석학적 개념이 등장합니다. 동시에 수리논리학에서는 칸토어로 대표되는 집합론이 발전하여 집합론적 다양한 정의를 등장시킵니다. 이 시점에서 1+1=2의 증명과 같은 이야기도 나옵니다. 

즉, 우리가 어느정도 잘 아는 문제, 예를 들면 자연수나 실수에 대해 집착하면서 새로운 정의들이 등장합니다. 당연히 이런 개념은 생각보다 심화되어있기 때문에 괴리가 발생합니다. 예를 들면 0.999...=?1과 같은 것이죠. 해석학적으로 보면 저 질문은 당연해지지만, 이 점을 설명하기에는 실수의 정의[2]와 실수를 구성하는 방법[3], 그리고 그 과정에서 사용되는 수렴이나 집합론적인 정의들을 설명하기에는 지나치게 지루해지기 때문입니다. 

결론적으로 말하면 중등수학(일반적으로 초등학교를 초등, 중~고등학교를 중등, 대학교를 고등수학이라고 합니다.) 수준에서 엄밀성의 추구는 의미없는 경우가 많습니다. 애초에 중등수학이 그것들을 위해 설계되어있지 않기 때문이죠. 물론 정의나 정리를 정확하게 모르고 문제를 기계적으로 푸는 것보다야 낫겠지만, 굳이 원리에 집착할 이유는 없습니다. 

[1] : Lemma는 주로 보조정리, Corollary는 주로 추론이라고 번역하는 것 같습니다. 

[2] : 실수는 Ordered Field With Completeness로 정의합니다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 있고(Field), 순서가 있으며(Order) 둘이 잘 호환되어야하고(Ordered Field), 마지막으로 수렴해야할 수열들은 수렴해야합니다(Completeness). 정확한 설명은 위키피디아를 참고하면 좋을 것 같습니다.

[3] : 다양하게 있는데, 보통 Dedekind Cut이나 Cauchy Sequence로 정의합니다. 이 외에도 p's power series, Continued Fraction, tinued Fraction, HyperInteger...등등 쓸모에 따라 다르게 정의하는 경우도 있습니다. 다만 모든 Ordered Field With Completeness는 구조적으로 동일하다는 정리가 있어서 어느것으로 정의하여도 우리가 아는 그 실수가 나옵니다.

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