수학 1.7k 0

지식이 늘었다. 두번째 지식

Global Moderator 한승수
2019-07-12 00:35:26 1447 18 17


"지식이 늘었다"는 수학의 개념, 원리, 법칙을 이해하고 

기능을 습득할 수 있는 기본개념과, 통합개념, 심화개념을 담아

차근차근 정보를 습득할 수 있도록 하였습니다.

이 제 짤막한 지식을 통해 여러분의 머리속에

잠시나마 수학에대한 열정과 배움에서 얻어지는 기쁨이 함께하길

(요번 "지식이 늘었다" 심화개념만 담았습니다.)



















잠깐!



오늘의 지식을 접하기 전에



허수와 무리수e 에 대한 간단한 설명을 하고 들어가겠습니다.




허수란?



1672년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨리가 실수로는 나타 낼 수 없는,



이차 방정식의 근을 나타내기 위해서 쓴 "수"의 개념입니다.



하지만, 이때는 허수라고 부르지 않았으며



허수라고 부른 즉, 허수라는 용어를 처음 사용한 사람은 데카르트 입니다.



단순히, 대수적인 필요에 의해 사용된 "수"로써 실존하지 않는 "수"입니다.



허수의 크기의 비교, 즉 부등호를 정의할 수 없습니다. 



즉, 1+1011i와 1+1010i라는 두 수가 있을 때 



누가 더 크고 작은 지를 생각하는 것 자체의 무의미하다고 볼 수 있죠.



허수는 보통 i를 많이 쓰는데,



어떤 수를 i 로 나누면 -i 가 곱해지게 됩니다.



즉, i의 네제곱은 1인셈



무리수 e 란?



 


178bb4afe1dcc18ca33f7efb5ed657c7.png



아마 현 고등학생에 이과시라면, 잘 아실거라 믿습니다.



이 값은 무리수이며



숫자로 표기했을때에는



2.7182818284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 8217852516 6427427466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 6323382988 07531 95251 0190115738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 1185374234 54424 37107 53907 77449 9206955170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 1320070932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 0141692836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 5056953696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 6889230098 7931277361 78215 42499 92295 76351 48220 8269895193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 4311730123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 1250996181 88159 30416 90351598888 5193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 63463244968487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016
7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354


어떻게 알아낸거지? ㅅㅂ?


너무 길죠? 그래서 e라는 표현으로 대체해서 쓰고있습니다.



이 e 라는 숫자는 너무 특이해서



상용로그 처럼 밑을 생략해서 쓰지 않고



log대신 ln이라고 씁니다.

























Leonhard Paul Euler

레온하르트 오일러 

1707년 4월 15일 ~ 1783년 9월 18일

"두 눈을 감고 우주를 보았다"











오일러의 저 말은 정말 수학에만 몰두한 나머지 두 눈의 시력을 잃고 나온 말인데요.



오일러는 28살에 젊은 나이에 오른쪽 눈의 시력을 잃었으며



"하루에 20시간 연구"라는 이 미친듯한 폭주 기관차는 결국 백내장으로 두 눈의 시력을 잃게 됩니다.



하지만 시력을 잃은 후에도 그의 열정은 식지 않았고,



1714년 로저 코츠가 이 공식의 양변에 자연로그를 씌운 형태의 공식을 처음으로 발견하였고



 1768년에 출판된 오일러의 책 [Introduction]에 현재 알려진 것과 같은 형태로 처음 수록된 



그 유명한 드 무아브르 공식이 나오게 됩니다.



89bc5ff3b1515ec32f4a07ac106a0a4a.png




이 식이 출현하기 전엔 애초에 실수와 순허수는 서로 계산 불가능했으며



 자연로그의 밑 e 는 지수함수에, 원주율은 삼각함수 계산에 쓰고



 각자 독자적으로 발견, 개발되고 자기자신만 영역을 이루고 있어서 정말 죽어도 만날 일 없던 수들이었는데요. 



이 식이 출현하고 나서, 실수와 순허수는 복소평면이라는 공간에서 서로 만나게 되었으며



초월함수인 지수함수와 삼각함수가 복소평면 상에서 결국 동일한 현상이었다는 것을 밝혔습니다. 



이게 얼마나 대단한 일이냐면, 고등학교 수1을 배운 것 을 잠깐 기억해보면, 애초에 실수와 순허수는 계산이 불가했죠?



이 공식이 발견되기 전까지도 그랬습니다.



즉, 발견되기전에는 수학자들도 실수와 순허수의 서로 직접적 계산은 불가 했다는 것.



그리고 이전까지 실수의 범위에서만 적용되던 미적분학을 복소수 범위까지 확장 시켜서



복소해석학이라는 분야를 개척하는데 기여한 일등공신이라고 볼 수 있죠.



사실 1편과는 다르게 굉장히 무거운 주제를 들고 왔는데요.



그 이유는 고등학생의 경우 이 공식을 접할 일 자체가 없습니다.



교육과정에도 없고, 선생님이 알려주시는 경우도 거의 없다고 보면 되구요.



근데 알고만 있다면?



강력한 무기가 되어줍니다.



보기도 싫은 삼각함수의 미적분과 공식들을 간단한 지수함수 미적분과 곱셈으로 변환시켜주기 떄문이죠.



특히 수험생들을 괴롭히는 삼각함수의 덧셈정리를 유도할때, 이 공식을 활용하면, 간단한 복소수의 곱셈만으로도!



충분히 공식유도, 및 답까지 유도해낼수 있습니다.









어땠나요? 사실 요번 "지식이 늘었다"는 굉장히 사심이 가득했는데요.



옛날 고등학교 2학년때 수학 선생님(젊으셨던걸로 기억)이 



이 공식을 알려주고 정말 큰 충격을 받아서



두번째 지식으로 썼습니다.



여러분께 조금이나마 도움이 되길 바라며 오늘은 여기서 마치도록 하겠습니다.







댓글 17개  
이전 댓글 더 보기
▼아랫글 첫번째 지식 한승수
광고
수학질문자유입시상담지식이 늘었다.
»
지식이 늘었다.
두번째 지식 [17]
Global Moderator 한승수
07-12
21
지식이 늘었다.
첫번째 지식 [9]
Global Moderator 한승수
07-10
인기글 글 쓰기