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지식이 늘었다. 첫번째 지식

Global Moderator 한승수
2019-07-10 00:27:20 1224 21 9


"지식이 늘었다"는 수학의 개념, 원리, 법칙을 이해하고 

기능을 습득할 수 있는 기본개념과, 통합개념, 심화개념을 담아

차근차근 정보를 습득할 수 있도록 하였습니다.

이 제 짤막한 지식을 통해 여러분의 머리속에

잠시나마 수학에대한 열정과 배움에서 얻어지는 기쁨이 함께하길












"유클리드"


BC 365 ~ BC 275


어느 날 제자가 유클리드에게 찾아가 이런 말을 하였다.


"이렇게 딱딱한 정리들을 배워서 무엇을 얻을 수 있습니까?"


그러자 유클리드는 옆에 노예 한 명을 불러서 이렇게 말했다.


"저자에게 동전 한 닢을 던져 주어라, 저 놈은 자신이 배운 것으로 부터 반드시 본전을 찾으려는 놈이다."















유클리드 호제법


두 양의 정수, 또는 다항식의 최대공약수를 쉽게 구할 수 있는 방법입니다.


흔히 사용하는 소인수 분해를 사용하지 않고 최대공약수를 구할수 있는데요.


인터넷에서는 이렇게 설명하더군요


두 정수 a, b의 최대공약수를 G(a, b)라고 하자.



정수 a, b, q r (b ≠ 0)에 대하여 a = bq + r,이면 G(a, b) = G(b, r)가 성립한다.


단( a > b )












이렇게 말하면 어렵죠?


즉, 예를 들어서 1679(=a) 와 874(=b)를 예로들어서 설명해보겠습니다. => G(1674,874)


먼저, 1679와 874를 빼줍니다.


1679 - 874 = 805 => G( 805,874 )


이제 805라는 숫자와 874라는 숫자가 나왔는데, 숫자가 음수가 되지않게, 874에서 805를 빼줍니다.


874 - 805 = 69 => G( 805,69 )


805와 69라는 숫자만 남았는데요.



0이하가 되기전까지 805에서 69를 빼줍니다.


805 - 69*11 = 46 => G( 46,69 )


슬슬 눈치 채신분들도 있으실텐데 이제 뭘 하실지 아시겠죠?


맞습니다. 69에서 46을 빼면 됩니다!


G( 46,23 )이 될 것이고, 또 같은 과정을 반복하면 G( 23,23 )이 되어서


결론적으로 1679와 874의 최대 공약수는 23이라는 것을 알 수 있습니다.



예제를 더 들어보자면,


3762와 4047


G( 3762, 4047 ) = G( 3762,285 ) = G( 3762 - 285*13,285 ) = G( 57,285 ) = G( 57,285 - 57*4 ) = G( 57,57)


즉, 3762와 4047의 최대 공약수는 57임을 알 수 있습니다.



더 심화과정으로 넘어가서 이 호제법을 다항식에서도 사용할수있다는 사실을 알고 계신가요?



아까전에 썼던 이 방식들을 이용하면, 다항식의 공통 인수를 찾아서 쓰실 수 있습니다.



푸는 방법 역시 정수의 경우와 동일해서 생략하도록 하겠습니다.

(사실 정수만 알아도 충분해요ㅋㅋ)



단, 이 호제법이 성립하는 경우는, 어디까지나 유클리드 정역의 환 위에서만 성립한다는 것.


















어떠셨나요.. 잘 이해는 가셨나요?


사실 우리나라 교육과정에 유클리드 호제법은 들어가 있지 않습니다.



하지만, 알아두면 가끔식 몇몇 문제를 풀 때 도움이 되실지 모르겠습니다.



저는 중학교때 소인수 분해를 배우면서, 소인수분해 노가다하면서 문제를 풀었던 기억이 나네요.



학원선생님한테 호제법을 배웠던 그 순간(마치 산업혁명) 만큼은 아직도 잊혀지지 않고 인상깊게 남아서 이렇게 첫번째 지식으로 썼습니다.



여기까지 읽어 주셔서 감사합니다.











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